la matematica es divertida : TRIGONOMETRÍA

Es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y,cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Representación gráfica de un triángulo rectángulo en un sistema de coordenada cartesiana

unidades angulares

Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2π radianes (algo más de 6,28).
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
Mil angular: unidad angular que divide la circunferencia en 6400 unidades.


Transportador en radianes	Transportador en grados sexagesimales

Transportador en grados centesimales	Transportador en mil angular

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo $\alpha \,$ , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

$\sin \, \alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} = \frac{a}{c}$

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa.

$\cos\alpha = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \frac{b}{c}$

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

$\tan\alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} = \frac{a}{b}$

representación

gráfica

Razones trigonométricas inversas

La cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:

\csc \alpha = \frac{1}{\sin \; \alpha} = \frac{c}{a}

En el esquema su representación geométrica es:

\csc \alpha = \overline{AG}

La secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo:

\sec \alpha = \frac{1}{\cos \; \alpha} = \frac{c}{b}

En el esquema su representación geométrica es:

\sec \alpha = \overline{AD}

La Cotangente: (abreviado como cot o cta o ctg) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}

En el esquema su representación geométrica es:

\cot \alpha = \overline{GF}

Representación gráfica

Funciones trigonométricas recíprocas

Las funciones recíproca se denominan con el prefijo arco, cada razón trigonométrica posee su propia función recíproca:

$y= \sin \, x \,$

y es igual al seno de x, la función recíproca:

$x = \arcsin \; y \,$

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

$y= \cos x \,$

y es igual al coseno de x, la función recíproca:

$x = \arccos y \,$

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

$y= \tan x \,$

y es igual al tangente de x, la función recíproca:

$x = \arctan y \,$

x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al arcotangente de y.

NOTA: Es común, que las funciones recíprocas sean escritas de esta manera:

$y = \operatorname {arcsin} \; x \quad \longrightarrow \quad y = \sin^{-1} x \,$

pero se debe tener cuidado de no confundirlas con:

$y = \cfrac{1}{\sin x} \quad \longrightarrow \quad y = \csc x$

Representación gráfica

EQUIVALENCIA ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

	Seno	Coseno	Tangente	Cotangente	Secante	Cosecante
$\sin\theta\,$	$\sin\theta\,$	$\sqrt{1-\cos^{2}\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^{2}\theta}}$	$\frac{\sqrt{\sec^{2}\theta-1}}{\sec\theta}$	$\frac{1}{\csc\theta}$
$\cos\theta\,$	$\sqrt{1-\sin^{2}\theta}$	$\cos\theta\,$	$\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}$	$\frac{\cot\theta}{\sqrt{1+\cot^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\sec\theta}$	$\frac{\sqrt{\csc^{2}\theta-1}}{\csc\theta}$
$\tan\theta\,$	$\frac{\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}$	$\frac{\sqrt{1-\cos^{2}\theta}}{\cos\theta}$	$\tan\theta\,$	$\frac{1}{\cot\theta}$	$\sqrt{sec^{2}\theta-1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^{2}\theta-1}}$
$\cot\theta\,$	$\frac{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}{\sin\theta}$	$\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-\cos^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\tan\theta}$	$\cot\theta\,$	$\frac{1}{\sqrt{\sec^{2}\theta-1}}$	$\sqrt{\csc^{2}\theta-1}$
$\sec\theta\,$	$\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\cos\theta\,}$	$\sqrt{1+\tan^{2}\theta}$	$\frac{\sqrt{1+\cot^{2}\theta}}{\cot\theta}$	${\sec\theta}\,$	$\frac{\csc\theta}{\sqrt{\csc^{2}\theta-1}}$
$\csc\theta\,$	$\frac{1}{\sin\theta\,}$	$\frac{1}{\sqrt{1-\cos^{2}\theta}}$	$\frac{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}{\tan\theta}$	$\sqrt{1+\cot^{2}\theta}$	$\frac{\sec\theta}{\sqrt{\sec^{2}\theta-1}}$	${\csc\theta}\,$

VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS


Circunferencia en radianes.	Circunferencia en grados sexagesimales.

Radianes	Grados sexagesimales	seno	coseno	tangente	cosecante	secante	cotangente
$0 \;$	$0^o \,$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$0 \,$	$\nexists (\pm \infty) \,\!$	$1 \,$	$\nexists (\pm \infty) \,\!$
$\frac{1}{6}\pi$	$30^o \,$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$2 \,$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{3}$
$\frac{1}{4}\pi$	$45^o \,$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1 \,$	$\frac{2}{\sqrt{2}}$	$\frac{2}{\sqrt{2}}$	$1 \,$
$\frac{1}{3} \pi$	$60^o \,$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$2 \,$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{1}{2} \pi$	$90^o \,$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\nexists (\pm \infty) \,\!$	$1 \,$	$\nexists (\pm \infty) \,\!$	$0 \,$